Question

19．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=-x²-2x，现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，根据图象：
（1）画出函数f（x）在y轴右侧图象，并写出函数f（x）（x∈R）的单调递增区间；
（2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式；
（3）若函数g（x）=f（x）-2ax+2（x∈[0，2]），求函数g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，画出函数f（x）在y轴右侧图象，可得函数f（x）（x∈R）的单调递增区间；
（2）根据图象写出函数f（x）（x∈R）的解析式；
（3）若函数g（x）=f（x）-2ax+2（x∈[0，2]），分类讨论求函数g（x）的最大值．

解答 解：（1）根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，画出函数f（x）在y轴右侧图象，
函数f（x）（x∈R）的单调递增区间是（-∞，-1），（0，1）；
（2）函数f（x）（x∈R）的解析式f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x，x≤0}\\{-{x}^{2}+2x，x＞0}\end{array}\right.$；
（3）x∈[0，2]，函数g（x）=f（x）-2ax+2=-x²+2x-2ax+2=-[（x-（a-1）]²+3-2a+a²，
a-1＜0，即a＜1，g（x）_max=g（0）=2；
0≤a-1≤2，即1≤a≤3，g（x）_max=g（a-1）=；3-2a+a²，
a-1＞2，即a＞3，g（x）_max=g（2）=-4a+2．

点评 本题考查函数图象的画法，考查函数的奇偶性与最值，考查数形结合的数学思想，属于中档题．