Question

11．已知三角形△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且2acosC=2b-c．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=2，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理即可得出．
（2）利用正弦定理及其和差化积即可得出．

解答 解：（1）∵2acosC=2b-c，∴2a×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=2b-c，化为：b²+c²-a²=bc．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
又A∈（0，π）．
∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，∴$b=\frac{{2\sqrt{3}asinB}}{3}，c=\frac{{2\sqrt{3}asinC}}{3}$，
∴$b+c=\frac{{2\sqrt{3}asinB}}{3}+\frac{{2\sqrt{3}asinC}}{3}=2$，
sinB+sinC=sinB+sin$（\frac{2π}{3}-B）$=sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB=$\sqrt{3}$$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinB+\frac{1}{2}cosB）$=$\sqrt{3}$sin$（B+\frac{π}{6}）$．
∴$a=\frac{{\sqrt{3}}}{sinB+sinC}=\frac{1}{{sin（B+\frac{π}{6}）}}$，
∵$B∈（0，\frac{2π}{3}）$，∴a∈[1，2）．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差化积、三角函数的单调性、三角形内角和定理、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．