Question

7．已知函数f（x）=|x-2|．
（1）解不等式：f（x-1）+f（x+4）≥6；
（2）已知a+b=1（a，b＞0），且对于?x∈R，f（x-m）-f（3-x）≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．
（2）利用1的代换，结合基本不等式先求出$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值是4，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=|x-2|．
∴f（x-1）+f（x+4）≥6等价为|x-3|+|x+2|≥6，
若x≤-2，不等式等价为-（x-3）-（x+2）≥6，即-2x≥5，得x≤-$\frac{5}{2}$，此时x≤-$\frac{5}{2}$，
当-2＜x＜3．不等式等价为-（x-3）+（x+2）≥6，即5≥6，此时不成立．
若x≥3，不等式等价为（x-3）+（x+2）≥6，即2x≥7，即x≥$\frac{7}{2}$，此时x≥$\frac{7}{2}$，
综上x≥$\frac{7}{2}$或x≤-$\frac{5}{2}$，
即不等式的解集为{x|x≥$\frac{7}{2}$或x≤-$\frac{5}{2}$}．
（2）∵a+b=1（a，b＞0），
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=1+1+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=2+2=4，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{a}{b}$，即a=b=$\frac{1}{2}$时取等号，
故$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为4，
要使f（x-m）-f（3-x）≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$恒成立，则f（x-m）-f（3-x）≤4成立即可．
即|x-m-2|-|3-x-2|≤4．
即|x-m-2|-|1-x|≤4．
∵|x-m-2|-|1-x|≤|x-m-2+1-x|=|-m-1|=|m+1|，
∴只要|m+1|≤4即可，
得-4≤m+1≤4，
得-5≤m≤3，
即实数m的取值范围是[-5，3]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．