Question

10．2016年夏季奥运会将在巴西里约热内卢举行，体育频道为了解某地区关于奥运会直播的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中40岁以上的观众有55名，下面是根据调查结果绘制的观众准备平均每天收看奥运会直播时间的频率分布表（时间：分钟）：

分组	[0，20）	[20，40）	[40，60）	[60，80）	[80，100）	[100，120）
频率	0.1	0.18	0.22	0.25	0.2	0.05

将每天准备收看奥运会直播的时间不低于80分钟的观众称为“奥运迷”，已知“奥运迷”中有10名40岁以上的观众．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否有95%以上的把握认为“奥运迷”与年龄有关？

	非“奥运迷”	“奥运迷”	合计
40岁以下
40岁以上
合计

（2）将每天准备收看奥运会直播不低于100分钟的观众称为“超级奥运迷”，已知“超级奥运迷”中有2名40岁以上的观众，若从“超级奥运迷”中任意选取2人，求至少有1名40岁以上的观众的概率．
附：K²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{a+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$

P（K2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K²，与3.841比较即可得出结论；
（2）由题意，列出所有的基本事件，计算出事件“任意选取2人，至少有1名40岁”包含的基本事件数，即可计算出概率．

解答 解：（1）由频率分布表可知，在轴取的100人中，“奥运迷”有25人，从完成2×2列联表如下：

	非“奥运迷”	“奥运迷”	合计
40岁以下	30	15	45
40岁以上	45	10	55
合计	75	25	100

${K^2}=\frac{{100×{{（{30×10-45×15}）}^2}}}{75×25×45×55}=\frac{100}{33}≈3.030$．
因为3.030＜3.841，所以没有95%以上的把握认为“奥运迷”与年龄有关．
（2）由频率分布表可知，“超级奥运迷”有5人，从而所有可能结果所组成的基本事件空间为：Ω={（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）}其中a_i表示男性，i=1，2，3，b_i表示女性，i=1，2．Ω由10个基本事件组成，且是等可能的，用A表示事件“任意选2人，至少有1名40岁以上观众”，则A={（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）}，即事件A包含7个基本事件，所以$P（A）=\frac{7}{10}$．

点评 本题考查独立性检验的运用及频率分布直方图的性质，列举法计算事件发生的概率，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型．