Question

定义：若曲线y=f（x）与y=g（x）都和直线y=kx+b相切，且满足：f（x）≤kx+b≤g（x）或g（x）≤kx+b≤f（x）恒成立，则称直线y=kx+b为曲线y=f（x）与y=g（x）的“内公切线”．已知f（x）=-

1

4

x²，g（x）=e^x．
（1）试探究曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在“内公切线”？若存在，请求出内公切线的方程；若不存在，请说明理由；
（2）g′（x）是函数g（x）的导设函数，P（x₁，g（x₁）），Q（x₂，g（x²））是函数y=g（x）图象上任意两点，x₁＜x₂，且存在实数x₃，使得g′（x₃）=

g(x2)-g(x1)

x2-x1

，证明：x₁＜x₃＜x₂．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：新定义

分析：（1）结合“内公切线”的定义先求出内公切线的方程，再证明；（2）利用分析法证明．

解答： （本小题满分14分）可
解：（1）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在“内公切线”，记内公切线与曲线g（x）=e^x的切点为（x₀，y₀），
则切线l方程为y-ex0=ex0(x-x0)                     …（2分）
又由

y-ex0=ex0(x-x0) y=- 1 4 x2

可得：

1

4

x2+ex0x+(1-x0)ex0=0．                …（3分）
由于切线l也和曲线f(x)=-

1

4

x2相切，
所以△=e2x0-(1-x0)ex0=ex0(ex0-1+x0)．
又ex0＞0，∴ex0-1+x0=0．．                                             …（4分）
当x₀＞0时，ex0＞1，∴ex0-1+x0＞0；
当x0=0时，ex0=1，∴ex0-1+x0=0；；

当x0＜0时，ex0＜1，∴ex0-1+x0＜0；
所以x₀=0，y₀=1，故公切线l的方程为：y=x+1．                       …（5分）
下面证明y=x+1就是f（x）与g（x）内公切线，即证-

1

4

x2≤x+1≤ex．
∵x+1-（-

1

4

x2）=

1

4

x2+x+1=(

1

2

x2+1)2≥0，
∴-

1

4

x2≤x+1成立．                                                    …（7分）
设h（x）=e^x-x-1，则h′（x）=e^x-1．
令h′（x）=0，得x=0．
当x＜0时，h′（x）＜0，当x＞0时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，
所以h（x）≥h（0）=0，即x+1≤e^x．                                       …（9分）
∴-

1

4

x2≤x+1≤ex，即y=x+1就是曲线y=f（x）与y=g（x）的内公切线． …（10分）
（2）∵g′（x）=e^x，∴ex3=

ex2-ex1

x2-x1

．
要证明：x₁＜x₃＜x₂，
只需证明：ex1＜ex3=

ex2-ex1

x2-x1

＜ex2，
只需证明：(x2-x1)ex1＜ex2-ex1＜(x2-x1)ex2，
只需证明：(x2-x1)ex1＜ex2-ex1，及ex2-ex1＜(x2-x1)ex2，
只需证明：(x2-x1)+1＜ex2-x1，及(x1-x2)+1＜ex1-x2．                    …（13分）
由（1）知：x+1≤e^x（x∈R），所以(x2-x1)+1＜ex2-x1及(x1-x2)+1＜ex1-x2成立，
∴x₁＜x₃＜x₂．                                                        …（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查新定义，正确理解新定义是关键．