题目内容

已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（1）求曲线在（1，f（1））处的切线方程；
（2）证明：0＜x＜1时f（x）＜0．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数单调性的性质
专题：计算题,证明题,导数的综合应用
分析：（1）求出导数，求出切线斜率，切点，由点斜式方程，得到切线方程；
（2）令g（x）=lnx-x，求导数，求单调区间，求出最大值，得到lnx-x+1≤0．从而得证．
解答： 解：（1）函数f（x）=（x+1）lnx-x+1，
f′（x）=lnx+（x+1）•
1
x
-1=lnx+
1
x
，
f′（1）=1，f（1）=0，
∴曲线在（1，f（1））处的切线方程为：y=x-1．
（2）证明：令g（x）=lnx-x，那么g′（x）=
1
x
-1，
g′（x）＞0，则0＜x＜1；g′（x）＜0，则x＞1．
可知当0＜x＜1时单调增，当x＞1时单调减．
故g（x）=lnx-x 在x=1 处取最大值为gmax=-1，
故lnx-x≤-1，即lnx-x+1≤0．
故当0＜x＜1 时，f（x）=xlnx+lnx-x+1＜0．
点评：本题考查导数的综合运用：求切线方程和求单调区间，求极值、最值，同时考查构造函数应用导数证明问题，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，点（1，
3
4
a）在椭圆C上．F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：x+y-m=0与椭圆C恰有一个公共点，在直线l上求一点P，使△PF1F2的周长最小．
如图，已知三棱锥D-ABC的底面是正三角形，且DA⊥平面ABC，O为底面中心，M、N是BD上的两点，且BM=DM=3MN
（1）ON∥平面MAC； 
（2）若AM⊥BD，求BO与平面MAC所成角的正弦值．
在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=2
7
，PB=PC=2
2
，求三棱锥的表面积和体积．
已知|2x-3|≤1的解集为[m，n]．
（1）求m+n的值；
（2）若|x-a|＜m，求证：|x|＜|a|+1．
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=
n+2
3
an（n∈N*），a1=
1
3
．
①求证：数列{
an
n(n+1)
}为常数列，并求出数列{an}的通项公式；
②设Tn=
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
，若对任意的n∈N*，x∈（0，+∞），不等式Tn＜x-2lnx+m恒成立，求实数m的取值范围．
定义：若曲线y=f（x）与y=g（x）都和直线y=kx+b相切，且满足：f（x）≤kx+b≤g（x）或g（x）≤kx+b≤f（x）恒成立，则称直线y=kx+b为曲线y=f（x）与y=g（x）的“内公切线”．已知f（x）=-
1
4
x2，g（x）=ex．
（1）试探究曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在“内公切线”？若存在，请求出内公切线的方程；若不存在，请说明理由；
（2）g′（x）是函数g（x）的导设函数，P（x1，g（x1）），Q（x2，g（x2））是函数y=g（x）图象上任意两点，x1＜x2，且存在实数x3，使得g′（x3）=
g(x2)-g(x1)
x2-x1
，证明：x1＜x3＜x2．
已知z是复数，若z+2i为实数（i为虚数单位），且z（1-2i）为纯虚数．
（1）求复数z；
（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
已知空间三点A（1，2，3），B（5，4，7），C（3，5，5），则
|AB|
|CB|
=
 
．

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