Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，M、N分别为BB₁、A₁C₁的中点．
（1）求证：AB⊥CB₁
（2）求证：MN∥平面ABC₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由面面垂直的性质定理可得AB⊥面BB₁C．从而证明AB⊥CB₁；（2）取AA₁的中点E，连NE，ME．证明面面平行后再说明线面平行．

解答： 证明：（1）∵面BB₁C⊥面ABC，面BB₁C∩面ABC=BC，∠ABC=90°
∴AB⊥面BB₁C．
又∵CB₁?面BB₁C，
∴AB⊥CB₁．
（2）取AA₁的中点E，连NE，ME．
∵在△AA₁C₁中，N，E是中点，
∴NE∥AC₁，
又因为M、E分别为BB₁、A₁A的中点．，
∴ME∥AB．
又∵AB∩AC₁=A，
∴平面MNE∥平面ABC₁；
而MN?平面MNE，
∴MN∥平面ABC₁．

点评：本题考查了线线垂直的判定与线面平行的判定，属于基础题．