Question

已知函数f（x）=ax²+x+blnx在x=1与x=2处取极值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[

1

e

，e²]的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）对函数求导，根据函数在x=1和x=2时取得极值，得到函数的导函数在这两个点导函数等于0，解关于a，b的方程，得到结果．
（Ⅱ）对函数求导，在所给的区间上写出各个区间上的导函数的符合和各个点的值，比较两个端点处函数的值和极值，求得最值．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=2ax+

b

x

+1，由

2a+b+1=0 4a+ b 2 +1=0

⇒

a=- 1 6 b=- 2 3

，
（Ⅱ）f（x）=-

1

6

x²+x-

2

3

lnx，f′（x）=

-(x-1)(x-2)

3x

，
∴函数f（x）在区间[

1

e

，1]递减，在（1，2]递增，在（2，e²]递减，
又f（1）=

5

6

＞0，f（e²）=-

4

3

-

e4

6

+e²＜0，
故f（x）在区间[

1

e

，e²]的最小值是f（e²）=-

4

3

-

e4

6

+e²．

点评：本题考查函数的极值和最值，解题的关键是正确应用在某一点有极值点条件，它使得导函数在这里等于0．