题目内容
如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段AD1和B1C上的动点，且满足D1M=CN，则下列命题正确的是①存在M，N的某一位置，使AB∥MN；
②△BMN的面积为定值；
③当D1M＞0时，直线MB1与AN是异面直线；
④无论M，N运动到任一位置，均有BC⊥MN；
⑤M，N在运动过程中，线段MN在平面ADA1D1内的射影所形成区域的面积为2．
考点：命题的真假判断与应用
专题：空间位置关系与距离
分析：①中M，N分别是AD1与B1C的中点时，AB∥MN，可知①正确；
②中M在A处时，△BMN的面积为2，M在AD1的中点、N在B1C的中点时，△BMN的面积为
，可知②△BMN的面积不为定值；
③中当D1M＞0时，利用反证法，假设直线MB1与AN是共面直线，则AM与B1N共面，导出矛盾，从而判断③；
④中，依题意知BC垂直于MN在面ABCD内的射影，由线面垂直的性质可判断④；
⑤中N移动时在平面BCB1C1的射影为A1D，M点移动时在平面BCB1C1的射影为AD1，设A1D∩AD1=O，
则线段MN在平面平面ADA1D1内的射影所形成区域为△A1OA和△D1OD，求得其面积可判断⑤．
②中M在A处时，△BMN的面积为2，M在AD1的中点、N在B1C的中点时，△BMN的面积为
| 2 |
③中当D1M＞0时，利用反证法，假设直线MB1与AN是共面直线，则AM与B1N共面，导出矛盾，从而判断③；
④中，依题意知BC垂直于MN在面ABCD内的射影，由线面垂直的性质可判断④；
⑤中N移动时在平面BCB1C1的射影为A1D，M点移动时在平面BCB1C1的射影为AD1，设A1D∩AD1=O，
则线段MN在平面平面ADA1D1内的射影所形成区域为△A1OA和△D1OD，求得其面积可判断⑤．
解答：
①中M，N分别是AD1与B1C的中点时，AB∥MN，①正确；
②中M在A处时，△BMN的面积为2，M在AD1的中点、N在B1C的中点时，△BMN的面积为
，故②错误；
③中当D1M＞0时，设直线MB1与AN是共面直线，则AM与B1N共面，矛盾，故假设不成立，直线MB1与AN是异面直线，③正确；
④中，依题意知MN在面ABCD内的射影为PQ，由D1M=CN知，DP=CQ，故BC⊥PQ，由线面垂直的性质可知BC⊥MN，故④正确；
⑤中N移动时在平面BCB1C1的射影为A1D，M点移动时在平面BCB1C1的射影为AD1，设A1D∩AD1=O，
则线段MN在平面平面ADA1D1内的射影所形成区域为△A1OA和△D1OD，故面积为2，即⑤正确．
综上所述，命题正确的是：①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．
②中M在A处时，△BMN的面积为2，M在AD1的中点、N在B1C的中点时，△BMN的面积为
| 2 |
③中当D1M＞0时，设直线MB1与AN是共面直线，则AM与B1N共面，矛盾，故假设不成立，直线MB1与AN是异面直线，③正确；
④中，依题意知MN在面ABCD内的射影为PQ，由D1M=CN知，DP=CQ，故BC⊥PQ，由线面垂直的性质可知BC⊥MN，故④正确；
⑤中N移动时在平面BCB1C1的射影为A1D，M点移动时在平面BCB1C1的射影为AD1，设A1D∩AD1=O，
则线段MN在平面平面ADA1D1内的射影所形成区域为△A1OA和△D1OD，故面积为2，即⑤正确．
综上所述，命题正确的是：①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．
点评：本题考查空间线面位置关系，考查空间想象能力与作图、运算能力，属于难题．
练习册系列答案
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如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，M、N分别为BB1、A1C1的中点．