Question

已知等差数列{a_n}的前四项的和A₄=60，第二项与第四项的和为34，等比数列{b_n}的前四项的和B₄=120，第二项与第四项的和为90．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，且{c_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

a2+a4=34 a1+a3=26

，从而求出a_n=4n+5（n∈N₊）．由题意知

b1+b3=30 b2+b4=90

，从而求出b_n=3ⁿ．
（2）由c_n=a_n•b_n=（4n+5）•3ⁿ，由此能求出S_n=

1

2

[（4n+3）•3ⁿ⁺¹-9]．

解答： （本小题12分）
解：（1）∵等差数列{a_n}的前四项的和A₄=60，第二项与第四项的和为34，
∴

a2+a4=34 A4=60

，即

a2+a4=34 a1+a3=26

，
∴2d=8．
解得d=4，a₁=9．
∴a_n=4n+5（n∈N₊）．
∵等比数列{b_n}的前四项的和B₄=120，第二项与第四项的和为90．
由题意知

B4=120 b2+b4=90

，即

b1+b3=30 b2+b4=90

，
解得q=3，b₁=3，
∴b_n=3×3^n-1=3ⁿ（n∈N₊）．（6分）
（2）由c_n=a_n•b_n=（4n+5）•3ⁿ，
∴S_n=9•3+13•3²+17•3³+…+（4n+5）•3ⁿ．
两边同乘以3，得
3S_n=9•3²+13•3³+17•3⁴+…+（4n+1）•3ⁿ+（4n+5）•3ⁿ⁺¹．
两式相减，得
-2S_n=9•3+4•3²+4•3³+…+4•3ⁿ-（4n+5）•3ⁿ⁺¹
=27+4•

32(1-3n-1)

1-3

-（4n+5）•3ⁿ⁺¹
=27+2•3ⁿ⁺¹-18-（4n+5）•3ⁿ⁺¹，
∴S_n=

1

2

[（4n+3）•3ⁿ⁺¹-9]．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．