题目内容

18．已知数列{an}满足an=3an-1+5，a1=1，求数列{an}的通项公式．

分析 把已知数列递推式变形，可得数列{${a}_{n}+\frac{5}{2}$}构成以$\frac{7}{2}$为首项，以3为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式后可得数列{an}的通项公式．

解答 解：由an=3an-1+5，得
${a}_{n}+\frac{5}{2}=3（{a}_{n-1}+\frac{5}{2}）$，
又${a}_{1}+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}≠0$，
∴$\frac{{a}_{n}+\frac{5}{2}}{{a}_{n-1}+\frac{5}{2}}=3（n≥2）$，
∴数列{${a}_{n}+\frac{5}{2}$}构成以$\frac{7}{2}$为首项，以3为公比的等比数列，
则${a}_{n}+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}•{3}^{n-1}$，
∴${a}_{n}=\frac{7}{2}•{3}^{n-1}-\frac{5}{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．

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