Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，cosθ），$\overrightarrow{b}$=（3，-4），若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则tan2θ=±$\frac{24}{7}$．

Answer 1

分析 由向量平行求出sinθ=-$\frac{3}{4}cosθ$，由同角三角函数关系式求出cos²θ=$\frac{16}{25}$，由此求出cos2θ，从而能求出结果．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，cosθ），$\overrightarrow{b}$=（3，-4），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴$\frac{sinθ}{3}=\frac{cosθ}{-4}$，
∴sinθ=-$\frac{3}{4}cosθ$，
∴sin²θ+cos²θ=$\frac{9}{16}co{s}^{2}θ+co{s}^{2}θ$=1，
解得cos²θ=$\frac{16}{25}$，∴cos2θ=2×$\frac{16}{25}$-1=$\frac{7}{25}$，
∴sin2θ=$±\sqrt{1-（\frac{7}{25}）^{2}}$=±$\frac{24}{25}$，
∴tan2θ=$\frac{sin2θ}{cos2θ}$=$\frac{±\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}}$=$±\frac{24}{7}$．
故答案为：$±\frac{24}{7}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时认真审题，注意向量平行、同角三角函数关系式、二倍角公式的合理运用．