Question

3．某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系t=$\left\{\begin{array}{l}{64，x≤0}\\{{2}^{kx+6}，x＞0}\end{array}\right.$且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，给出以下四个结论：
①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；
②当x∈[-6，6]时，该食品的保鲜时间t随看x增大而逐渐减少；
③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；
④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间
其中，所有正确结论的序号是①④．

Answer 1

分析 根据食品在4℃的保鲜时间是16小时．求出k值，进而逐一分析四个结论的真假，可得答案．

解答 解：∵食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系t=$\left\{\begin{array}{l}{64，x≤0}\\{{2}^{kx+6}，x＞0}\end{array}\right.$且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已
∴2^4k+6=16，即4k+6=4，解得：k=$-\frac{1}{2}$，
∴t=$\left\{\begin{array}{l}64，x≤0\\{2}^{-\frac{1}{2}x+6}，x＞0\end{array}\right.$，
当x=6时，t=8，故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时，正确；
②当x∈[-6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈（0，6]时，该食品的保鲜时间t随看x增大而逐渐减少，故错误；
③到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；
④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确，
故正确的结论的序号为：①④，
故答案为：①④．

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了函数在实际生活中的应用，难度中档．