Question

13．已知函数f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（Ⅲ）若f（x）-3t+1＞0在（-1，0）上恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用奇函数在原点有意义，则f（0）=b=0，可解出a，b的值；
（Ⅱ）f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，利用导函数判断函数的单调性即可；
（Ⅲ）不等式整理为f（x）＞3t-1，只需求出左式的最小值，但最小值不存在大于f（-1）=-$\frac{1}{2}$，故可以取等号．

解答 解：（Ⅰ）已知函数是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$，
∴f（0）=b=0，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{5}{4}}$=$\frac{2}{5}$，
∴a=1，
∴f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$；
（Ⅱ）f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，
∴f'（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$＞0（∈（-1，1）），
∴f（x）在（-1，1）上是增函数；
（Ⅲ）若f（x）-3t+1＞0在（-1，0）上恒成立，
∴f（x）＞3t-1，
∵f（x）在（-1，1）上是增函数；
∴f（x）的最小值大于f（-1）=-$\frac{1}{2}$，
∴3t-1≤-$\frac{1}{2}$，
∴t$≤\frac{1}{6}$．

点评 考查了奇函数的性质，导函数判断函数的单调性和恒成立问题的转化．