Question

求函数f（x）=log 

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（x²-6x+17）的定义域、值域和单调区间．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：先根据对数函数的性质求出函数的定义域，然后在定义域内求函数的值域，函数f（x）=log 

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（x²-6x+17）是由f（x）=log 

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μ（x）=与μ（x）=x²-6x+17复合而成，根据复合的两个函数同增则增，同减则增，一增一减则减，即可求出函数f（x）=log 

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（x²-6x+17）的单调区间．

解答： 解：由μ（x）=x²-6x+17=（x-3）²+8≥8，解得x∈R，
所以函数f（x）=log 

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（x²-6x+17）的定义域R．
所以函数f（x）=log 

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（x²-6x+17）的值域（-∞，-3]．
因为函数f（x）=log 

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（x²-6x+17）是f（x）=log 

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μ（x）与μ（x）=x²-6x+17，
函数f（x）=log 

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（x²-6x+17）在其定义域上是单调递减的，
函数μ（x）=x²-6x+17在（-∞，3）上为减函数，在[3，+∞）上为增函数．
考虑到函数的定义域及复合函数单调性，
f（x）=log 

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（x²-6x+17）的增区间是定义域内使f（x）=log 

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μ（x）为减函数、μ（x）=x²-6x+17也为减函数的区间，即（-∞，3）；
f（x）=log 

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（x²-6x+17）的减区间是定义域内使f（x）=log 

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μ（x）为减函数、μ（x）=x²-6x+17为增函数的区间，即（3，+∞）．

点评：本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则增，一增一减则减，注意对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．