Question

已知函数f（x）=x²+1，且g（x）=f[f（x）]，G（x）=g（x）-2af（x）
（1）若a=3，求函数G（x）的最小值；
（2）是否存在实数a使得G（x）在（-∞，-1）上为减函数，在（-1，0）为增函数？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：导数的综合应用

分析：由f（x）得到g（x），再由g（x）得到G（x），通过求导找到函数的单调区间，从而找到函数的最值．

解答： 解（1）；∵函数f（x）=x²+1，
∴g（x）=f[f（x）]
=f（x²+1）=（x²+1）²+1
=x⁴+2x²+2，
当a=3时，
G（x）=g（x）-2af（x）
=x⁴-4x²-4，
∴G′（x）=4x³-8x，令G′（x）=0，解得：x=-1，x=0，x=1，
在（-∞，-1）上，G（x）递减，在（-1，0）上，G（x）递增，
∴G（-1）是极小值，G（-1）=-7；
在（0，1）上，G（x）递减，在（1，+∞）上，G（x）递增，
∴G（1）是极小值，G（1）=-7；
∴G（x）的最小值是-7．
（2）由（1）得：g（x）=x⁴+2x²+2，
∴G（x）=x⁴+2x²+2-2a（x²+1）
=x⁴+（2-2a）x²+（2-2a），
∴G′（-1）=0，解得；a=

3

2

，
∴存在a=

3

2

，使得G（x）在（-∞，-1）上为减函数，在（-1，0）为增函数．

点评：本题属于求函数的单调性及最值的问题，通过求导的方式解决．