Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，O为坐标轴原点，且△AOB面积为

2

，椭圆C的离心率与双曲线

x2

a2

-

y2

a2

=1离心率互为倒数．
（1）求椭圆C的方程
（2）求过点P（

2

3

，-

1

3

）而不过点Q（

2

，1）的动直线l交椭圆C于M，N两点．求∠MQN．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知S△AOB=

1

2

ab=

2

，e=

c

a

=

2

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）①直线斜率不存在时，能求出∠MQN=90°；若直线l的斜率存在，设它的方程为y=kx+b，由已知条件推导出b=-(

2

3

k+

1

3

)，联立

y=kx+b x2 4 + y2 2 =1

，得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-4=0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出∠MQN=90°．

解答： 解：（1）由题意知S△AOB=

1

2

ab=

2

，
双曲线

x2

a2

-

y2

a2

=1离心率为

2

，
因为椭圆C的离心率与双曲线

x2

a2

-

y2

a2

=1离心率互为倒数，
所以椭圆的离心率为

2

2

，e=

c

a

=

2

2

，
解得a=2，b=

2

，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）①如果直线斜率不存在时M，N两点坐标为(

2

3

，±

17

3

)，
∵点Q（

2

，1），∴∠MQN=90°．
②若直线l的斜率存在，设它的方程为y=kx+b，
因为点P(

2

3

，-

1

3

)在直线l上，
所以-

1

3

=

2

3

k+b，故b=-(

2

3

k+

1

3

)，
联立直线l和椭圆方程

y=kx+b x2 4 + y2 2 =1

，
消去y，得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-4=0，
设M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），则x1+x2=-

4kb

(2k2+1)

，x₁x₂=-

2b2-4

(2k2+1)

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=-

4kb2

2k2+1

+2b=

2b

2k2+1

，
y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2，
所以y1y2=

b2-4k2

2k2+1

，
因为

QM

=(x1-

2，

y1-1)，

QN

=(x2-

2，

y2-1)，
所以

QM

•

QN

=(x1-

2，

y1-1)•(x2-

2，

y2-1)
=x1x2-

2

(x1+x2)+2+y1y2-(y1+y2)+1
=-

2b2-4

2k2+1

-

2

(-

4kb

2k2+1

)+2+

b2-4k2

2k2+1

-

2b

2k2+1

+1
=

1

2k2+1

[3b2+2k2+2b(2

2

k-1)-1]
=

1

2k2+1

[

1

3

(

2

k+1)2+2k2-

2

3

(

2

k+1)(2

2

k-1)-1]=0，
所以∠MQN=90°．
综上所述，∠MQN=90°．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查角的大小的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．