Question

设函数f（x）=ax-x³，a∈R，
（1）若f（x）是R上的单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）在[-2，2]上的值域也是[-2，2]，求实数a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的值域

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，判断f（x）是R上的单调递减函数，即有f′（x）≤0在R上恒成立，即有a≤3x²，求出右边的最小值即可；
（2）对a讨论，分若a≤0，a≥12，0＜a＜12三种情况，分别判断单调性，解方程求出a，加以判断即可得到．

解答： 解：（1）函数f（x）=ax-x³的导数为：f′（x）=a-3x²，
由于f（x）是R上的单调函数，
且y=f′（x）的图象是开口向下的抛物线，
则f（x）是R上的单调递减函数，
即有f′（x）≤0在R上恒成立，即有a≤3x²，
由于3x²≥0，则a≤0；
（2）由于f（-x）=-ax-（-x）³=-（ax-x³）=-f（x），
则f（x）为奇函数，
若a≤0，则为减函数，
f（x）在[-2，2]上的值域也是[-2，2]，
即有f（-2）=2，且f（2）=-2，
即2a-2³=-2，解得，a=3＞0，不成立．
则a＞0，由f′（x）＞0，解得，-

a 3

＜x＜

a 3

，f（x）递增，
由f′（x）＜0，解得x＞

a 3

，或x＜-

a 3

，f（x）递减．
当

a 3

≥2即a≥12，区间[-2，2]递增，则有f（-2）=-2，且f（2）=2，
即有2a-8=2，解得，a=5＜12不成立；
当

a 3

＜2即0＜a＜12，区间[-2，2]递减，则有f（-2）=2，且f（2）=-2，
即2a-2³=-2，解得，a=3，成立．
综上可得，a=3．

点评：本题考查导数的运用：判断单调性，求单调区间，考查函数的单调性的运用：求值域，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．