Question

已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足PA、PB、PC两两垂直，则PC•AB的最大值为（　　）

• A、0
• B、

  2

• C、2
• D、

  4 2

  3

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：根据题意，画出图形，结合图形，利用基本不等式的性质解答问题．

解答： 解：画出图形，如图所示；
设PA=a，PB=b，PC=c，
由题设知，侧面积S=

1

2

ab+

1

2

bc+

1

2

ca，
∴2S=ab+bc+ca；
该三棱锥是内接球的长方体的一部分，体对角线是球的直径2，
∴a²+b²+c²=4；
由基本不等式可得a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca；
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca；当且仅当a=b=c=

2

3

时取“=”；
此时PC•AB取得最大值，为
PC•AB=c•

a2+b2

=

2

3

•

( 2 3 )2+( 2 3 )2

=

2

3

•

2

×

2

3

=

4 2

3

．
故选：D．

点评：本题考查了空间几何体的应用问题，解题时应根据题意画出图形，结合图形解答问题，是中档题．