Question

已知函数f（x）=x²+ax的最小值不小于-1，且f（-

1

2

）≤-

3

4

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数F（x）=f（x）-kx+1，x∈[-2，2]，记函数F（x）的最小值为g（k），求g（k）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据已知条件即可得到

-a2 4 ≥-1 1 4 - a 2 ≤- 3 4

，解不等式即可求出a，从而求出f（x）；
（2）求出F（x）是个二次函数，所以讨论对称轴与区间[-2，2]的关系即可求出在每种情况下的最小值，然后把最小值g（k）写出来即可．

解答： 解：（1）由已知条件知：

-a2 4 ≥-1 1 4 - a 2 ≤- 3 4

，解得a=2；
∴f（x）=x²+2x；
（2）F（x）=x²+（2-k）x+1；
对称轴是x=

k-2

2

；
∴若2≤

k-2

2

，即k≥6，则F（x）在[-2，2]上单调递减，∴g（k）=F（2）=9-2k；
若-2＜

k-2

2

＜2，即-2＜k＜6，g（k）=F（

k-2

2

）=

4k-k2

4

；
若-2≥

k-2

2

，即k≤-2，F（x）在[-2，2]上单调递增，∴g（k）=F（-2）=2k+1；
∴g(k)=

9-2k k≥6 4k-k2 4 -2＜k＜6 2k+1 k＜-2

．

点评：考查二次函数的最小值，根据条件求函数的解析式，二次函数的对称轴及单调性，二次函数的最值．