Question

4．已知圆C：x²+y²-4x-5=0．
（Ⅰ）判断圆C与圆D：（x-5）²+（y-4）²=4的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若过点（5，4）的直线l与圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用圆C与圆D的连心线长=圆C与圆D的两半径之和，判断圆C与圆D：（x-5）²+（y-4）²=4的位置关系；
（Ⅱ）分类讨论，利用圆心C（2，0）到直线l的距离=半径，求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵圆C的标准方程是（x-2）²+y²=9
∴圆C的圆心坐标是（2，0），半径长r₁=3…（2分）
又圆D的圆心坐标是（5，4），半径长r₂=2
∴圆C与圆D的连心线长为$\sqrt{{{（2-5）}^2}+{{（0-4）}^2}}=5$…（4分）
又圆C与圆D的两半径之和为r₁+r₂=5
∴圆C与圆D外切…（5分）
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=5，符合题意 …（7分）
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-5）+4，即kx-y+4-5k=0
∵直线l与圆C相切
∴圆心C（2，0）到直线l的距离d=3，即$d=\frac{{|{2k+4-5k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=3$，解得$k=\frac{7}{24}$…（10分）
∴此时直线l的方程为$\frac{7}{24}x-y+4-\frac{35}{24}=0$，即7x-24y+61=0…（11分）
综上，直线l的方程为x=5或7x-24y+61=0…（12分）

点评 本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．