Question

16．如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB=$\frac{1}{2}AD$=2，点G为AC的中点．
（1）求证：EG∥平面ABF；
（2）求三棱锥B-AEG的体积．

Answer 1

分析 （1）取AB中点M，连FM，GM，证明EG∥FM．然后证明EG∥平面ABF．
（2）作EN⊥AD，垂足为N，说明EN为三棱锥E-ABG的高．利用等体积法，通过${V}_{B-AEG}={V}_{E-ABG}=\frac{1}{3}{S}_{△ABG}•EN$求解即可．

解答 （1）证明：取AB中点M，连FM，GM．                        …（1分）
∵G为对角线AC的中点，
∴GM∥AD，且GM=$\frac{1}{2}$AD，
又∵FE∥$\frac{1}{2}$AD，
∴GM∥FE且GM=FE．
∴四边形GMFE为平行四边形，即EG∥FM．                …（4分）
又∵EG?平面ABF，FM?平面ABF，
∴EG∥平面ABF．                                        …（6分）
（2）解：作EN⊥AD，垂足为N，
由平面ABCD⊥平面AFED，面ABCD∩面AFED=AD，
得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E-ABG的高．
∵在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60°，
∴△AEF是正三角形．
∴∠AEF=60°，
由EF∥AD知∠EAD=60°，
∴EN=AE?sin60°=$\sqrt{3}$．                                   …（10分）
∴三棱锥B-AEG的体积为${V_{B-AEG}}={V_{E-ABG}}=\frac{1}{3}{S_{△ABG}}•EN=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．      …（13分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．转化思想的应用．