Question

12．（普通中学做）已知数列{a_n}满足a₁+3a₂+5a₃+…+（2n-1）a_n=（n-1）3ⁿ⁺¹+3（n∈N^*），则数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$．

Answer 1

分析 由数列{a_n}满足a₁+3a₂+5a₃+…+（2n-1）a_n=（n-1）3ⁿ⁺¹+3，利用迭代法求出${a}_{n}={3}^{n}$．由此能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁+3a₂+5a₃+…+（2n-1）a_n=（n-1）3ⁿ⁺¹+3，（n∈N^*），
∴a₁=3，
a₁+3a₂+5a₃+…+（2n-3）a_n-1=（n-2）3ⁿ+3，（n≥2），
两式相减得（2n-1）a_n=（2n-1）•3ⁿ，
∴${a}_{n}={3}^{n}$．
∵a₁=3满足上式，
∴${a}_{n}={3}^{n}$，
S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$．
故答案为：$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．