Question

9．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=AA₁，则异面直线AC₁与B₁C所成角为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 由条件便可看出B₁A₁，B₁C₁，B₁B三直线两两垂直，这样分别以这三直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，并设AB=1，从而可以求出图形上一些点的坐标，从而可求出向量$\overrightarrow{A{C}_{1}}，\overrightarrow{{B}_{1}C}$的坐标，并可以说明$\overrightarrow{A{C}_{1}}⊥\overrightarrow{{B}_{1}C}$，从而得出异面直线AC₁与B₁C所成的角．

解答 解：如图，根据条件知，B₁A₁，B₁C₁，B₁B三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则：
B₁（0，0，0），C（0，1，1），A（1，0，1），C₁（0，1，0）；
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}=（-1，1，-1），\overrightarrow{{B}_{1}C}=（0，1，1）$；
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=0$；
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}⊥\overrightarrow{{B}_{1}C}$；
即AC₁⊥B₁C；
∴异面直线AC₁与B₁C所成角为90°．
故选：D．

点评 考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，以及通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角的方法，向量数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，以及异面直线所成角的概念．