Question

20．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2c（c＞0），抛物线y²=2cx的准线交双曲线左支于A，B两点，且∠AOB=120°，其中O为原点，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $1+\sqrt{2}$
• C． $1+\sqrt{3}$
• D． $1+\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由题意，A（-$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），代入双曲线方程，可得$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，由此可得双曲线的离心率．

解答 解：由题意，抛物线y²=2cx的准线x=-$\frac{c}{2}$，且∠AOB=120°，可得A（-$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），
代入双曲线方程，可得$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，
整理可得e⁴-8e²+4=0，∵e＞1，∴e=$\sqrt{3}$+1，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．