Question

10．下列命题中的真命题是（　　）

• A． ?x₀∈R，使得sinx+cosx=$\frac{3}{2}$
• B． ?x₀∈R，使得$x_0^2-{x_0}+1=0$
• C． ?x∈（0，+∞），e^x＞x+1
• D． ?x∈（0，π），sinx＞cosx

Answer 1

分析 利用三角函数的最值判断A的正误；二次方程的根判断B的正误；函数的切线与函数的值的关系判断C的正误；反例判断D的正误．

解答 解：x∈R，sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$，∵$\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$，∴?x₀∈R，使得sinx+cosx=$\frac{3}{2}$，不正确；
x₀∈R，$x_0^2-{x_0}+1=0$，对应的函数中因为△=-3＜0，所以方程无解．所以B不正确；
?x∈（0，+∞），e^x＞x+1，因为y=e^x，是增函数，x=0时，函数的切线方程为：y=x+1，所以选项C正确；
?x∈（0，π），sinx＞cosx，显然x=$\frac{π}{6}$时，不满足不等式，所以选项D不正确；
故选：C．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，基本知识的考查．