Question

10．设实数x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+y≤5}\\{x-2y≤0}\end{array}}\right.$，则目标函数z=y-lnx的最小值为1-ln2．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，作出曲线y=lnx，平移曲线y=lnx，利用直线和曲线相切的等价条件进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，
由z=y-lnx得y=lnx+z，
作出曲线y=lnx，平移曲线y=lnx，
由图象知当曲线y=lnx+z与直线x-2y=0相切时，z最小，
函数的导数y′=$\frac{1}{x}$，直线x-2y=0的斜率k=$\frac{1}{2}$，
由$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{2}$得x=2，此时y=1，即切点（2，1），
则z=1-ln2，
故答案为：1-ln2．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用平移曲线法，结合直线和曲线相切的等价条件是解决本题的关键．