Question

在△ABC中，∠C=60°，c=2

2

，周长为2（1+

2

+

3

），则∠A=

 

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：根据题意和余弦定理列出方程组，利用整体代换和韦达定理求出a的值，再由正弦定理求出sinA，由内角和定理的特殊角的三角函数值求出角A．

解答： 解：由题意知在△ABC中，∠C=60°，c=2

2

，
则由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
所以8=a²+b²-ab，即8=（a+b）²-3ab，①
因为c=2

2

，周长为2（1+

2

+

3

），所以a+b=2（1+

3

），②
由①②得，ab=

8(1+ 3 )

3

，③，
由②③得，a、b是方程x2-2(1+

3

)x+

8(1+ 3 )

3

=0，
即方程为3x2-6(1+

3

)x+8(1+

3

)=0
则△=36(1+

3

)2-4×3×8(1+

3

)=48-24

3

=4（12-6

3

）=4(3-

3

)2
解得方程的两个根是

4 3

3

或

6+2 3

6

，
所以a=

4 3

3

或

6+2 3

6

，
由正弦定理得，

a

sinA

=

c

sinC

=

2 2

sin60°

=

4 6

3

，
则sinA=

a

4 6 3

=

6

8

a=

2

2

或

6 + 3

4

，
因为

6 + 3

4

＞1，所以sinA=

2

2

，
则A=45°或135°，
当A=135°时，A+C=135°+60°=195°＞180°，舍去，
所以A=45°，
故答案为：45°．

点评：本题考查正弦、余弦定理，内角和定理，整体代换和韦达定理，以及化简、变形、计算能力，考查了方程思想．