Question

【题目】已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16， ，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推. 设该数列的前项和为,

规定：若 ,使得（ ），则称为该数列的“佳幂数”.

（Ⅰ）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数”；

（Ⅱ）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；

（III）（i）求满足>70的最小的“佳幂数”;

（ii）证明：该数列的“佳幂数”有无数个.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1，2，3；（Ⅱ）见解析；（III）（i）95；（ii）见解析.

【解析】试题分析：(1) (2)先根据题意确定前9项有45个数，所以，不能表示为，因此不是“佳幂数”（3）（i）因为，所以， 结合条件确定t的最小值，解得最小的“佳幂数”（ii）由得“佳幂数”有无数个

试题解析：（Ⅰ）1，2，3；

（Ⅱ）由题意可得，数列如下：

第1组:1，第2组:1,2；第3组：1,2,4； 第k组： .

则该数列的前项的和为:

，①

当时， ，

则 ，

由于，对 ， ，故50不是“佳幂数”.

（III）（i）在①中，要使，有，

此时，

所以是第组等比数列的部分项的和，

设

所以，则，此时，

所以对应满足条件的最小“佳幂数”.

（ii）由（i）知：

当，且取任意整数时，可得“佳幂数”，

所以，该数列的“佳幂数”有无数个.