Question

【题目】已知点，圆，点是圆上一动点， 的垂直平分线与交于点.

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为曲线，过点且斜率不为0的直线与交于两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】【试题分析】（1）由于，所以的轨迹为椭圆，利用椭圆的概念可求得椭圆方程.（2）当直线的斜率存在时，设出直线方程和点的坐标，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，求得直线的方程，求得其纵截距为，即过.验证当斜率不存在是也过.求出三角形面积的表达式并利用基本不等式求得最大值.

【试题解析】

解：（1）由已知得： ，所以

又,所以点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆，

所以点轨迹方程是.

（2）当存在时，设直线， ，则，

联立直线与椭圆得，

得，

∴，

∴，所以直线，

所以令，得，

，

所以直线过定点，（当不存在时仍适合）

所以的面积 ，当且仅当时，等号成立.

所以面积的最大值是.