题目内容
【题目】已知点,圆
,点
是圆上一动点,
的垂直平分线与
交于点
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线
,过点
且斜率不为0的直线
与
交于
两点,点
关于
轴的对称点为
,证明直线
过定点,并求
面积的最大值.
【答案】(1) .(2)
.
【解析】【试题分析】(1)由于,所以
的轨迹为椭圆,利用椭圆的概念可求得椭圆方程.(2)当直线
的斜率存在时,设出直线方程和点
的坐标,联立直线方程和椭圆方程,写出韦达定理,求得直线
的方程,求得其纵截距为
,即过
.验证当斜率不存在是也过
.求出三角形面积的表达式并利用基本不等式求得最大值.
【试题解析】
解:(1)由已知得: ,所以
又,所以点
的轨迹是以
为焦点,长轴长等于4的椭圆,
所以点轨迹方程是
.
(2)当存在时,设直线
,
,则
,
联立直线与椭圆得
,
得,
∴,
∴,所以直线
,
所以令,得
,
,
所以直线过定点
,(当
不存在时仍适合)
所以的面积
,当且仅当
时,等号成立.
所以面积的最大值是
.
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