题目内容
【题目】已知椭圆
的右焦点
与短轴两个端点的连线互相垂直.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点为椭圆
的上一点,过原点
且垂直于
的直线与直线
交于点
,求
面积
的最小值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)由右焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,根据等腰直角三角形及椭圆的几何性质可得
,从而可得
,进而可得椭圆
的标准方程;(2))设
,
,则
,先求出当
时
的面积,当
时,直线
的方程为
.即
,直线
的方程为
根据点到直线距离公式以及两点间的距离公式可得
,利用基本不等式可得
面积
的最小值.
试题解析:(1)由题意,得 解得
.
所以椭圆的方程为
.
(2)设,
,则
.
①当时,点
,
点坐标为
或
,
.
②当时,直线
的方程为
.即
,
直线的方程为
.
点到直线
的距离为
,
.
所以, .
又,
所以
且
,
当且仅当,即
时等号成立,
综上,当时,
取得最小值1.
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