集成电路E由3个不同的电子元件组成.现由于元件老化.3个电子元件能正常工作的概率分别降为$\frac{1}{2}$.$\frac{1}{2}$.$\frac{2}{3}$.且每个电子元件能否正常工作相互独立．若3个电子元件中至少有2个正常工作.则E能正常工作.否则就需要维修.且维修集成电路E所需要费用为100元．(1)求集成电路E需要维修的概� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，3个电子元件能正常工作的概率分别降为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若3个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需要费用为100元．
（1）求集成电路E需要维修的概率；
（2）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需费用．求X的分布列和均值．

分析（1）设“三个电子元件能正常工作”分别记为事件A，B，C，则P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{2}{3}$．依题意，集成电路E需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，②3个元件2个不能正常工作，由此能求出集成电路E需要维修的概率．
（2）由题意知X的可能取值为0，100，200，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答（本小题12分）
解：（1）设“三个电子元件能正常工作”分别记为事件A，B，C，
则P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{2}{3}$．
依题意，集成电路E需要维修有两种情形：
①3个元件都不能正常工作，概率为：
p₁=P（$\bar A\bar B\bar C$）=P（$\bar A$）+P（$\bar B$）+P（$\bar C$）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{12}$．
②3个元件2个不能正常工作，概率为
p₂=P（$A\bar B\bar C$）+P（$\bar AB\bar C$）+P（$\bar A\bar BC$）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$．
所以，集成电路E需要维修的概率为p₁+p₂=$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{12}$．
（2）由题意知X的可能取值为0，100，200，
P（X=0）=（1-$\frac{5}{12}$）²=$\frac{49}{144}$，
P（X=100）=$C_2^1$•$\frac{5}{12}$•（1-$\frac{5}{12}$）=$\frac{70}{144}$，
P（X=200）=（$\frac{5}{12}$）²=$\frac{25}{144}$．
X的分布列为：