Question

7．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且$\sqrt{3}c=2asinC$．
（1）求角A的大小；
（2）若∠A为锐角，a=2$\sqrt{3}$，S_△ABC=2$\sqrt{3}$，求b，c的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得$\sqrt{3}$sinC=2sinAsinC，进而可求sinA，可得A的值．
（2）由（1）及已知可求∠A，利用余弦定理可求bc=b²+c²-12，利用三角形面积公式可求bc=8，进而联立解得b，c的值．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）∵$\sqrt{3}c=2asinC$，且sinC≠0，
∴可得$\sqrt{3}$sinC=2sinAsinC，…2分
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…3分
∴A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$…4分
（2）∵∠A为锐角，可得A=$\frac{π}{3}$，…5分
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，可得：bc=b²+c²-12，…6分
∵S_△ABC=2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴bc=8，
∴b²+c²=20，…8分
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{b=2}\end{array}\right.$…10分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．