Question

9．已知$\overrightarrow a=（2cosx，2sinx）$，$\overrightarrow b=（sin（x-\frac{π}{6}），cos（x-\frac{π}{6}））$，函数f（x）=cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞．
（Ⅰ）求函数f（x）零点；
（Ⅱ）若△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且f（A）=1，求$\frac{b+c}{a}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先化简函数，再求函数f（x）零点；
（Ⅱ）求出A，C，利用正弦定理，边化角，利用三角函数知识求$\frac{b+c}{a}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由条件可知：$\overrightarrow a•\overrightarrow b=2cosx•sin（x-\frac{π}{6}）+2sinx•cos（x-\frac{π}{6}）$
=$2cosx•（sinxcos\frac{π}{6}-cosxsin\frac{π}{6}）+2sinx•（cosxcos\frac{π}{6}+sinxsin\frac{π}{6}）$
=$\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x$=$\sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin（2x-\frac{π}{6}）$…（3分）
∴$f（x）=cos＜\overrightarrow a，\overrightarrow b＞=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{|\overrightarrow a|•|\overrightarrow b|}=\frac{{2sin（2x-\frac{π}{6}）}}{2}=sin（2x-\frac{π}{6}）$…（4分）
所以函数f（x）零点满足$sin（2x-\frac{π}{6}）=0$，得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$，k∈Z．              …（6分）
（Ⅱ）由正弦定理得$\frac{b+c}{a}=\frac{sinB+sinC}{sinA}$
由（Ⅰ）$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$，而f（A）=2，得$sin（2A-\frac{π}{6}）=1$
∴$2A-\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，又A∈（0，π），得$A=\frac{π}{3}$…（8分）
∵A+B+C=π，∴$C=\frac{2π}{3}-B$代入上式化简得：$\frac{b+c}{a}=\frac{{sinB+sin（\frac{2π}{3}-B）}}{sinA}=\frac{{\frac{3}{2}sinB+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB}}{sinA}=\frac{{\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）}}{sinA}=2sin（B+\frac{π}{6}）$…（10分）
又在△ABC中，有$0＜B＜\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，则有$\frac{1}{2}＜sin（{B+\frac{π}{6}}）≤1$
即：$1＜\frac{b+c}{a}≤2$…（12分）

点评 本题考查三角函数与向量知识的综合，考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．