Question

8．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+4cosφ}\\{y=4sinφ}\end{array}\right.$，（φ为参数），以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）将直线l写成参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，（t为参数）的形式，并求曲线C的普通方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的直角坐标为（1，0），求|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线l的极坐标方程为ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即直线l：x-y-1=0，倾斜角为$\frac{π}{4}$，能将直线l写成参数方程，消去参数，能求出曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t²-$\sqrt{2}$t-15=0，利用参数的几何意义，求|AB|的值．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即直线l：x-y-1=0，倾斜角为$\frac{π}{4}$，
∴将直线l写成参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）；
∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+4cosφ}\\{y=4sinφ}\end{array}\right.$，（φ为参数），
∴曲线C的直角坐标方程为（x-2）²+y²=16．
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t²-$\sqrt{2}$t-15=0，
设t₁，t₂是方程的两根，则t₁+t₂=$\sqrt{2}$，t₁t₂=-15＜0，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{2+60}$=$\sqrt{62}$．

点评 本题考查直线的参数方程和曲线的直角坐标方程的求法，考查参数方程的运用，是中档题．