Question

对于函数f(x)=cos2(x-

π

12

)+sin2(x+

π

12

)-1，下列选项中正确的是（　　）

• A、f(x)在(

  π

  4

  ，

  π

  2

  )内是递增的
• B、f（x）的图象关于原点对称
• C、f（x）的最小正周期为2π
• D、f（x）的最大值为1

Answer 1

考点：二倍角的余弦,两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性,正弦函数的对称性

专题：三角函数的图像与性质

分析：函数f（x）解析式前两项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性，对称性，周期性，以及值域，即可做出判断．

解答： 解：函数f（x）=

1

2

[1+cos（2x-

π

6

）+1-cos（2x+

π

6

）]-1
=

1

2

（

3

2

cos2x+

1

2

sin2x-

3

2

cos2x+

1

2

sin2x）
=

1

2

sin2x，
令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ，k∈Z，
∴f（x）的递增区间为[-

π

4

+kπ，

π

4

+kπ]，k∈Z，
当x∈（

π

4

，

π

2

）时，2x∈（

π

2

，π），此时函数为减函数，选项A错误；
当x=0时，f（x）=0，且正弦函数关于原点对称，选项B正确；
∵ω=2，∴最小正周期T=

2π

3

=π，选项C错误；
∵-1≤sin2x≤1，
∴f（x）=

1

2

sin2x的最大值为

1

2

，选项D错误，
故选：B．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，以及正弦函数的对称性，熟练掌握公式是解本题的关键．