Question

11．正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角B-A₁C-A的大小为60°．

Answer 1

分析 连结A₁B、A₁D，在平面A₁BC上作BE⊥A₁C，垂足E，根据二面角平面角的定义证明BEO是二面角B-A₁C-A的平面角，根据三角形的边角关系进行求解即可．

解答 解：连结A₁B、A₁D，在平面A₁BC上作BE⊥A₁C，垂足E，连结DE，BD，AC，AC和BD交于O，连EO，
∵BC⊥平面ABB₁A₁，
A₁B?平面ABB₁A₁，
∴BC⊥A1B，
△A₁BC是Rt△，同理△A₁DC也是Rt△，
则Rt△A₁BC≌Rt△A₁DC，
则DE⊥A₁C，
即连接OE，则∠BEO是二面角B-A₁C-A的平面角，
设棱长为1，A₁B=$\sqrt{2}$，A₁C=$\sqrt{3}$，
△A₁BC的面积S=$\frac{1}{2}$BE•A₁C=$\frac{1}{2}$A₁B•BC，
BE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
则DE=BE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，BD=$\sqrt{2}$，
BO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在△BEO中，
sin∠OEB=$\frac{OB}{BE}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则∠OEB=60°，
∴二面角B-A₁C-A的大小为60°．
故答案为：60°

点评 本题主要考查二面角的求解，根据二面角的定义求出二面角的平面角是解决本题的关键．考查学生的推理能力，本题也可以建立坐标系，利用向量法进行求解．