Question

2．已知曲线C₁的极坐标方程是ρ+4cosθ+$\frac{5}{2ρ}$=0．以极点O为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy中，曲线C₂：x²+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
（Ⅰ）写出C₁的直角坐标方程和C₂的参数方程；
（Ⅱ）设M，N分别为C₁，C₂的任意一点，求|MN|的最大值．

Answer 1

分析 （I）由曲线C₁的极坐标方程是ρ+4cosθ+$\frac{5}{2ρ}$=0，化为2ρ²+8ρcosθ+5=0，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ可得直角坐标方程．由曲线C₂：x²+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，利用cos²α+sin²α=1可得参数方程．
（II）由（I）可设：N（cosα，3sinα），圆心P（-2，0），可得|NP|=$\sqrt{（cosα+2）^{2}+（3sinα）^{2}}$=$\sqrt{-8（cosα-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{27}{2}}$，利用二次函数的单调性、三角函数求值即可得出．

解答 解：（I）由曲线C₁的极坐标方程是ρ+4cosθ+$\frac{5}{2ρ}$=0，化为2ρ²+8ρcosθ+5=0，
可得直角坐标方程：2（x²+y²）+8x+5=0，配方化为：（x+2）²+y²=$\frac{3}{2}$．
由曲线C₂：x²+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
（II）由（I）可设：N（cosα，3sinα），圆心P（-2，0），
∴|NP|=$\sqrt{（cosα+2）^{2}+（3sinα）^{2}}$=$\sqrt{co{s}^{2}α+4cosα+4+9（1-co{s}^{2}α）}$=$\sqrt{-8（cosα-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{27}{2}}$，
当cos$α=\frac{1}{4}$时，|NP|取得最大值$\sqrt{\frac{27}{2}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．
∴|MN|的最大值=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、椭圆的参数方程化为普通方程、两点之间的距离公式、三角函数化简求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．