题目内容
19．若对任意x＞0，$\frac{x}{{{x^2}+3x+1}}$≤a恒成立，则a的最小值是（ ）| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{1}{5}$ | D． | $\frac{1}{6}$ |
分析 根据基本不等式，将不等式恒成立转化为求函数的最大值即可得到结论．
解答 解：$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{1}{x+3+\frac{1}{x}}$，
∵x＞0，
∴x+3+$\frac{1}{x}$≥3+2 $\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=3+2=5，当且仅当x=$\frac{1}{x}$，
即x=1时取等号，
∴0＜$\frac{1}{x+3+\frac{1}{x}}$≤$\frac{1}{5}$，
∴要 $\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立，
则a≥$\frac{1}{5}$，
故a的最小值为$\frac{1}{5}$，
故选：C．
点评 本题主要考查不等式恒成立问题，将条件转化为基本不等式形式是解决本题的关键．
练习册系列答案
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6．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=$\frac{1}{2}$f（x+1），且当0≤x≤1时，f（x）=x2-x，则f（-$\frac{3}{2}$）=（ ）
| A． | -$\frac{1}{2}$ | B． | -$\frac{1}{4}$ | C． | -$\frac{1}{8}$ | D． | -$\frac{1}{16}$ |
如图所示，已知在四棱锥，P一ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，且PA=PB=$\sqrt{2}$，CD∥AB，AD⊥AB，AD=CD=1
如图，直线PO与直径为4的圆O交于B，C两点，且PC=2，直线PA切圆O于点A