Question

3．如图，圆内接四边形ABCD中，BD是圆的直径，AB=AC，延长AD与BC的延长线相交于点E，作EF⊥BD于F．
（1）证明：EC=EF；
（2）如果DC=$\frac{1}{2}$BD=3，试求DE的长．

Answer 1

分析 （1）通过证明△DEF≌△DEC，即可证明：EC=EF；
（2）如果DC=$\frac{1}{2}$BD=3，证明∠BDC=∠EDC，利用等腰三角形的性质求DE的长．

解答 （1）证明：由圆内接四边形的性质，可求得∠ABC=∠CDE；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ADB=∠EDF，
∴∠CDE=∠EDF，
∵BD是圆的直径，
∴BC⊥DC，
∵EF⊥BD，DE=DE，
∴△DEF≌△DEC，
∴EC=EF；
（2）解：∵DC=$\frac{1}{2}$BD=3，BC⊥DC，
∴∠BDC=60°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EDC=60°，
∴∠BDC=∠EDC，
∵DC⊥BC，
∴DE=BD=6．

点评 本题考查三角形全等的证明，考查等腰三角形的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．