Question

1．（Ⅰ）对矩阵A=$（{\begin{array}{l}3&1\\ 4&2\end{array}}）$，求其逆矩阵A^-1；
（Ⅱ） 利用矩阵知识解二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}3x+y=2\\ 4x+2y=3\end{array}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由矩阵A求得丨A丨和其伴随矩阵A*，由A^-1=$\frac{1}{丨A丨}$•A*，即可求得逆矩阵A^-1；
（Ⅱ） 将二元一次方程组转化成$A（{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}）=（{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}）$，由（Ⅰ）可知$（\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}）$=A^-1$（\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}）$，即可求得方程组的解．

解答 解：（Ⅰ）丨A丨=3×2-4×1=2，
A的伴随矩阵A*=$[\begin{array}{l}{2}&{-1}\\{-4}&{3}\end{array}]$，
由A^-1=$\frac{1}{丨A丨}$•A*=$[\begin{array}{l}{1}&{-\frac{1}{2}}\\{-2}&{\frac{3}{2}}\end{array}]$，
∴${A^{-1}}=（{\begin{array}{l}1&{-\frac{1}{2}}\\{-2}&{\frac{3}{2}}\end{array}}）$…（3分）
（Ⅱ） 方程组可写为$A（{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}）=（{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}）$，（4分）
因此原方程组的解：$（\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}）$=A^-1$（\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{1}&{-\frac{1}{2}}\\{-2}&{\frac{3}{2}}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}}\end{array}）$，
∴方程组的解为：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$．（7分）

点评 本题考查逆变换与逆矩阵的应用，考查求二阶矩阵的逆矩阵，系数矩阵的逆矩阵解方程组等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．