Question

16．如图所示，AB是圆O的直径，BC与圆O相切于B，D为圆O上一点，∠ADC+∠DCO=180°．
（1）证明：∠BCO=∠DCO；
（2）证明：AD•OC=AB•OD．

Answer 1

分析 （1）证明：BD⊥AD，AD∥OC，可得BD⊥CO，且CO平分BD，即可证明∠BCO=∠DCO；
（2）证明：△OCD∽△ABD，即可证明AD•OC=AB•OD．

解答 证明：（1）连接BD，则
∵AB是圆O的直径，
∴BD⊥AD，
∵∠ADC+∠DCO=180°，
∴AD∥OC，
∴BD⊥CO，且CO平分BD，
∴∠BCO=∠DCO；
（2）连接OD，则
由（1）可知∠CBD=∠CDB，∵∠OBD=∠ODB，
∴∠CBO=∠CDO=90°，∴OD⊥CD．
∵∠BCO=∠DCO=∠OBD，
∴△OCD∽△ABD，
∴$\frac{OD}{AD}$=$\frac{OC}{AB}$，
∴AD•OC=AB•OD．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．