Question

20．如图，已知AD、BE、CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，AD的延长线交△ABC的外接圆于点G．
（Ⅰ）求证：∠CHG=∠ABC；
（Ⅱ）求证：AB•GD=AD•HC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形的高的定义，可得∠HDB=∠HFB=90°，则四点H，F，B，D共圆，由圆内接四边形的性质，即可得证；
（Ⅱ）连结CG，由同弧所对圆周角相等，证得Rt△ADB∽Rt△GDC，由相似三角形的性质：对应边成比例，即可得证．

解答 证明：（Ⅰ）∵AD、CF分别是△ABC三边的高，
∴AD⊥BC，CF⊥AB，
即有∠HDB=∠HFB=90°，
可得四点H，F，B，D共圆，
由圆内接四边形的性质可得，
∠CHG=∠ABC．
（Ⅱ）连结CG，
∵∠ABC与∠AGC同弧圆周角，
∴∠ABC=∠AGC，
∵∠CHG=∠ABC，
∴∠CHG=∠AGC，
∴GC=HC，
在Rt△ADB和Rt△GDC中，
∵∠ABC=∠AGC，即∠ABD=∠CGD，
∴Rt△ADB∽Rt△GDC，
∴$\frac{AB}{GC}=\frac{AD}{GD}$，
∴AB•GD=AD•GC，
又∵GC=HC，
∴AB•GD=AD•HC．

点评 本题考查四点共圆的判定和圆内接四边形的性质，以及相似三角形的判定和性质，考查推理和运算能力，属于中档题．