Question

已知函数f（x）=

x2+ax+b

x

（x≠0）是奇函数，且f（1）=f（4）
（Ⅰ）求实数a、b的值；
（Ⅱ）试证明函数f（x）在区间（0，2]单调递减，在区间（2，+∞）单调递增．

Answer 1

考点：函数的单调性及单调区间,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据条件建立方程关系即可求实数a、b的值；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=

x2+ax+b

x

（x≠0）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即

x2-ax+b

-x

=-

x2+ax+b

x

，
即-ax=ax，解得a=0，
此时f（x）=

x2+b

x

=x+

b

x

，
∵f（1）=f（4）
∴1+b=4+

b

4

，
即

3b

4

=3，解得b=4．
故实数a=0，b=4；
（Ⅱ）∵a=0，b=4，∴f（x）=x+

4

x

，
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+

4

x1

-x₂-

4

x2

=（x₁-x₂）+（

4

x1

-

4

x2

）=（x₁-x₂）•

x1x2-4

x1x2

，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
①若0＜x₁＜x₂≤2，则x₁x₂＜4，则f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），此时函数单调递减．
②若2＜x₁＜x₂，则x₁x₂＞4，则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），此时函数单调递增．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，根据函数奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键．