Question

定义在R 上的函数f（x）满足f（x+

3

2

）+f（x）=0．且函数y=f（x-

3

4

）为奇函数，给出下列命题：
（1）函数f（x）的最小正周期是

3

2

（2）函数的图象关于y轴对称．
（3）函数f（x）的图象关于点（

3

4

，0）对称．
其中正确的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：函数的周期性,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据定义在R 上的函数f（x）满足f（x+

3

2

）+f（x）=0．可得f（x+3）+f(x+

3

2

)=0，即可得出周期性；
（2）由于f（-x）=f（3-x）=-f(x-

3

2

)，f（x）=-f(

3

2

-x)，而f(x-

3

2

)≠f(

3

2

-x)，可得f（-x）≠f（x），
（3）函数y=f（x-

3

4

）为奇函数，可得f(-x-

3

4

)=-f(x-

3

4

)，以

9

4

-x代换x可得f(

3

2

-x)+f(x)=0，即可判断出．

解答： 解：（1）∵定义在R 上的函数f（x）满足f（x+

3

2

）+f（x）=0．
∴f（x+3）+f(x+

3

2

)=0，∴f（x+3）=f（x），
∴函数f（x）的周期T=3．
（2）f（-x）=f（3-x）=-f(x-

3

2

)，
而f（x）=-f(

3

2

-x)，
f(x-

3

2

)≠f(

3

2

-x)，
∴f（-x）≠f（x），
∴函数f（x）不是偶函数．
（3）∵函数y=f（x-

3

4

）为奇函数，
∴f(-x-

3

4

)=-f(x-

3

4

)，
以

9

4

-x代换x可得f（x-3）=-f(

3

2

-x)=f（x），
∴f(

3

2

-x)+f(x)=0，
∴函数f（x）的图象关于点（

3

4

，0）对称．

点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、对称性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．