Question

已知y=f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x-3．
（1）用分段函数形式写出y=f（x）的解析式；
（2）写出y=f（x）的单调区间；
（3）求出函数的最值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）只需求出x＜0时f（x）的表达式即可．设x＜0，则-x＞0，利用已知表达式可求出f（-x），再根据f（x）与f（-x）关系即可求解．
（2）当x≥0时，f（x）=x²-2x-3，对称轴为x=1，当x≤0时，f（x）=x²+2x-3，对称轴为x=-1，由此能求出f（x）的单调区间．
（3）利用抛物线的性质和分类讨论思想能求出函数的最值．

解答： 解：（1）∵y=f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，
当x≥0时，f（x）=x²-2x-3，
∴当x＜0时，设x＜0，则-x＞0，
∴f（x）=f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x-3．
即x＜0时，f（x）=x²+2x-3．
故f（x）=

x2-2x-3，x≥0 x2+2x-3，x＜0

．
（2）当x≥0时，f（x）=x²-2x-3，
对称轴为x=1，
∴增区间为[1，+∞），减区间为[0，1]；
当x≤0时，f（x）=x²+2x-3，
对称轴为x=-1，
∴增区间为[-1，0），减区间为（-∞，-1]．
综上，f（x）的增区间为[-1，0），[1，+∞），减区间为（-∞，-1]，[0，1]．
（3）由（2）知，当x≥0时，f（x）=x²-2x-3，
f（x）_min=f（1）=1-2-3=-4，无最大值；
当x≤0时，f（x）=x²+2x-3，
f（x）_min=f（-1）=1-2-3=-4，无最大值．
综上，函数的最小值为-4，无最大值．

点评：本题考查函数的解析式、单调区间和最值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．