Question

17．已知函数f（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$．
（1）求f^-1（x）的解析式；
（2）求使f^-1（x）＞0成立的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数的解析式求出自变量，再把自变量和函数交换位置，即得反函数的解析式，
（2）需要分类讨论，当0＜a＜1时，得到0＜$\frac{1+x}{1-x}$＜1，当a＞1时，得到$\frac{1+x}{1-x}$＞1，解得即可．

解答 解：（1）y=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$，
∴a^x+1=$\frac{2}{1-y}$
∴a^x=$\frac{2}{1-y}$-1=$\frac{1+y}{1-y}$，
∴x=log_a（$\frac{1+y}{1-y}$），
∴f^-1（x）=log_a（$\frac{1+x}{1-x}$），-1＜x＜1，
（2）f^-1（x）＞0，
∴log_a（$\frac{1+x}{1-x}$）＞0=log_a1，
当0＜a＜1时，
∴0＜$\frac{1+x}{1-x}$＜1，
解得-1＜x＜0，
当a＞1时，
$\frac{1+x}{1-x}$＞1，
解得0＜x＜1，
综上所述，当0＜a＜1时，x的范围为（-1，0），
当a＞1时，x的范围为（0，1）．

点评 本题考查反函数，以及对数函数的单调性，求出反函数，是解题的难点．