Question

5．已知函数f（x）=e^x-1，g（x）=-（x-2）²+m，若存在a，b∈[0，3]，使得f（a）＞g（b）成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数单调性的性质求出函数在[0，3]上的取值范围，结合函数最值之间的关系进行求解即可．

解答 解：当0≤x≤3时，函数f（x）为增函数，
则f（0）≤f（x）≤f（3），
即0≤f（x）≤e³-1，
函数g（x）=-（x-2）²+m的对称轴为x=2，抛物线开口向下，
则当x=2时，函数取得最大值m，
当x=0时，函数取得最小值g（0）=m-4，
即m-4≤g（x）≤m，
若不存在a，b∈[0，3]，使得f（a）＞g（b）成立，
即任意的a，b∈[0，3]，使得f（a）≤g（b）成立，
即f（x）_max≤g（x）_min，
即e³-1≤m-4，即m≥e³+3，
则若存在a，b∈[0，3]，使得f（a）＞g（b）成立，
则m＜e³+3
即实数m的取值范围是（-∞，e³+3）．

点评 本题主要考查函数最值的应用，根据函数单调性的性质求出函数的值域是解决本题的关键．