Question

已知点列P_n（a_n，b_n）在直线l：y=2x+1上，P₁为直线l与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，（n∈N⁺）
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设C_n=

1

n|P1Pn|

（n≥2），求C₁+C₂+…+C_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得b_n=2a_n+1，从而数列{a_n}的公差为1，由此求出a_n=n-1，b_n=2n-1．（n∈N^*）
（Ⅱ）由已知得|p₁p_n|=

an2+(bn-1)2

=

5

(n-1)，C_n=

1

n|P1Pn|

=

1

5

(

1

n-1

-

1

n

)，由此能求出C₁+C₂+…+C_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵点列P_n（a_n，b_n）在直线l：y=2x+1上，
∴b_n=2a_n+1，
∵P₁为直线l与y轴的交点，
∴P₁（0，1），∴a₁=0，
又数列{a_n}的公差为1，
∴a_n=n-1，（n∈N^*），
∴b_n=2n-1．（n∈N^*）
（Ⅱ）∵p₁（0，1），p_n（a_n，b_n），
∴|p₁p_n|=

an2+(bn-1)2

=

(n-1)2+(2n-2)2

=

5

(n-1)，
∴C_n=

1

n|P1Pn|

=

1

5

(

1

n-1

-

1

n

)，
∴C₁+C₂+…+C_n
=

1

5

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

)
=

1

5

(1-

1

n

)．

点评：本题考查数列的通面公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．