Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，过点F₂的直线交双曲线右支于不同的两点M、N．若△MNF₁为正三角形，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  6

• B、

  3

• C、

  2

• D、

  3

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题中所给条件可知M，N关于x轴对称，|NF₂|=

b2

a

，|F₁F₂|=2c，根据△MNF₁为正三角形，得到（

b2

a

+a）×

3

2

=2c，整理此方程可得双曲线的离心率．

解答： 解：由题意可知，M，N关于x轴对称，
∴|NF₂|=

b2

a

，|F₁F₂|=2c，
∵△MNF₁为正三角形，
结合双曲线的定义，得到MF₁=MF₂+2a，
∴（

b2

a

+a×2）×

3

2

=2c，
∴

3

（c²+a²）=4ac，
两边同除以a²，得到

3

e2-4e+

3

=0，解得e=

3

或e=

3

3

＜1（舍去）；
故选B．

点评：本题考查了双曲线的离心率，关键是根据双曲线的定义以及等边三角形的性质，找出几何量a，c之间的关系，解题时要注意双曲线的离心率要大于1．